Speciális függvények - Műszaki-fizikai alkalmazásokkal (42 ábrával)

Saját képekkel - Ismertető: E ​könyv anyagának egyes részeit előadtam a Budapesti Műszaki Egyetemen villamosmérnök hallgatók, ill. a Budapesti Eötvös Loránd Tudományegyetemen fizika szakos hallgatók számára tartott kötelező és speciálelőadásokon. A könyv elsősorban mérnökök és fizikusok számára készült; éppen ezért (és nem ennek ellenére!) a definíciók és tételek megfogalmazásakor matematikai szigorúságra törekedtem. A matematika felhasználójának, alkalmazójának ugyanis igen fontos, hogy a használt fogalmak pontosak, körülhatároltak, és az állítások, tételek teljesülésének összes feltételei adottak legyenek, nehogy a fogalmak bizonytalansága és a feltételek hiányos ismerete következtében esetleg akkor is „alkalmazza” az elméletet, amikor az nem jogos és hibás eredményre vezet, vagy olyan tételt használjon, amely helyett esetleg egy másik lenne a helyénvaló. A terjedelem korlátozottsága miatt kénytelen voltam a tételek jelentős részének bizonyítását elhagyni. Ilyen esetekben megadtam az irodalmi forrást, ahol a bizonyítás megtalálható, kivéve az olyan egyszerű levezetéseket, amelyeket az olvasó maga is könnyűszerrel elvégezhet.

Részben a terjedelem szabta korlátok következtében, részben az áttekinthetőség fokozása érdekében magában az anyagban is erős szelekciót kellett végezni. A könyv csak a műszaki és fizikai alkalmazásokban leggyakrabban előforduló, legjelentősebb speciális függvényeket tartalmazza, alkalmazásaikkal együtt. A tárgyalt függvénytípusoknak is csupán legfontosabb tulajdonságai, a legjelentősebb formulák és összefüggések szerepelnek. - További ismertető: "Belelapozás". - TARTALOM:
Előszó 9
Legendre-függvények
A Laplace-egyenlet megoldása gömbi koordinátarendszerben
A Legendre-féle differenciálegyenlet 13
Legendre-polinomok elemi tulajdonságai
A Rodrigues-formula 20
Rekurziós formulák 23
Ortogonalitás
Függvények Legendre-sorba fejtése
További tulajdonságok 26
Asszociált Legendre-függvények 31
Gömbfüggvények 37
Gömbfüggvények ortogonalitása
Addiciós tételek
Laplace-sorok 41
Ponttöltés potenciálja
A Legendre-polinomok generátorfüggvénye 46
A Laplace-egyenlet megoldása gömbön megadott peremfeltételek mellett 49
Kvantummechanikai alkalmazások
Elektron mozgása centrális erőtérben 52
Kvantummechanikai alkalmazások
Az impulzusmomentum sajátértékei
A rotátor 56
Laguerre- és Hermite-polinomok
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete 60
A Laguerre-féle differenciálegyenlet. Laguerre-polinomok 63
Az általános Laguerre-féle differenciálegyenlet
Asszhociált Laguerre-polinomok 65
Az asszociált Laguerre-polinomok generátorfüggvénye
Rekurziós formulák
Ortogonalaitás 78
Kvantummechanikai alkalmazások
A lineáris harmonikus oszcillátor
A gömbszimmetrikus oszcillátor-potenciál 81
Kvantummechanikai alkalmazások. Kiegészítések 87
Csebisev-polinomok
Függvények Csebisev-féle approximációja
Elsőfajú Csebisev-polinomok 94
Rekurziós formulák
A Csebisev-polinoömok differenciálegyenlete
Másodfajú Csebisev-polinomok 101
Csebisev-polinomok explicit előállítása
Ortogonalitás
Generátor-függvény 105
Jacobi-polinomok 109
Hálózat-szintézis. Csebisev-szűrők 114
Szubharmonikus rezgések 123
Bessel-függvények
A Laplace-egyenlet megoldása hengerkoordináta-rendszerben 127
A Bessel-féle differenciálegyenlet 131
Bessel-függvények különböző típusai 135
Rekurziós formulák 142
Bessel-függvények integrál- és szimptotikus előállításai 147
Integrálformulák 154
Bessel-függvények zérushelyei. Ortogonalitás 158
Függvények Bessel - Fourier- és dini-sorba fejtése 163
Kör alakú, rugalmas membrán rezgései 167
Hő (elektromosság) stacionárius áramlása homogén izotróp közegben 174
Homogén gömb hővezetése 181
Elektromágneses hullámok terjedése 184
Hidrodinamikai alkalmazások 192
Rugalmasságtani alkalmazások 202
Forgótárcsák torziós és radiális rezgései 209
Hengerfüggvények általánosításai
Elektromágneses hullámok visszaverődése parabolikus hengertükrökön 217
Parabolikus hengerfüggvények 222
A hullámegyenlet megoldása elliptikus koordinátarendszerben
A Methieu-féle differenciálegyenlet 227
A Mathieu-féle differenciálegyenlet megoldása
Elliptikus hengerfüggvények 229
Elliptikus hengerfüggvények Fourier-sora
Ortogonalitás, normálás 239
Elliptikus hengerfüggvényekre vonatkozó elemi összefüggések
Módosított elliptikus hengerfüggvények 244
A Mathieu-féle differenciálegyenlet megoldásainak stabilitása
Törtindexű elliptikus hengerfüggvények 246
Másodfajú Mathieu-függvények 250
A Hill-féle differenciálegyenlet 254
Elektrotechnikai alkalmazások. A lengőtekercses hangszóró 257
Elektrotechnikai alkalmazások. Frekvenciamoduláció 259
Kör, illetve ellipszis keresztmetszetű hullámvezetők 268
Elektrotechnikai alkalmazások. Tekercsek ellipszis keresztmetszetű vasmagjában fellépő veszteség 278
Elliptikus henger hővezetése 283
Rugalmasságtani alkalmazások
Rugalmas húr, rugalmas tartó rezgései 287
Ellipszis alakú membrán rezgései 293
Elliptikus függvények
A matematikai inge. Elsőfajú elliptikus integrál 296
Az ellipszis kerülete. Másodfajú elliptikus integrál 298
Az elliptikus integrálok legfontosabb tulajdonságai 300
Az elsőfajú elliptikus integrál invertálása
A Jacobi-féle elliptikus függvények 303
A Jacobi-féle zetafüggvény 310
A Weierstrass-féle függvények 311
Az elliptikus integrálok és függvények általános definíciójáról 314
A rugalmas rúd 316
Pörgettyű szögsebessége 319
Körvezető mágneses tere 323
Kétdimenziós elektrosztatikai terek 329
Párhuzamos egyenes vezetőkből álló rács tere 342
Két párhuzamos vezető sík között elhelyezkedő síkbeli rács tere 346
Folyadékáramlás komplex potenciálja 349
Két párhuzamos sík közötti végtelen örvénysor komplex potenciálja 351
Függelék
A gammafüggvény
A gammafüggvény különféle előállításai. függvényegyenlete 357
A bétafüggvény 360
Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek
Állandó együtthatójú másodrendű lineáris differenciálegyenletek osztályozása 362
Álalános másodrendű lineáris egyenletek osztályozása. A kétváltozós eset 369
A Fourier-módszer 371
Ortogonális függvén yrendszerek
A négyzetesen integrálható függvények tere 376
Ortogonális sorok 382
Súlyfüggvényre vonatkozó ortogonalitás
Ortogonális polinomrendszerek 387
A Sturm-Liouville-probléma megoldásainak ortogonalitása 395
Hipergeometrikus függvények
Másodrendű lineáris differenciálegyenletek szinguláris pontjai
A hipergeometrikus differenciálegyenlet 396
A hipergeometrikus differenciálegyenlet megoldásai
Hipergeometrikus függvények 400
Konfluens hipergeometrikus függvények 403
Differenciálvariánsok görbevonalú koordinátarendszerben
Ortogonális görbevonalú koordinátarendszerek 404
A differenciálvariánsok kifejezései 407
Irodalomjegyzék 409
Tárgymutató 413